PreCalculo

División larga de polinomios:

La división larga de polinomios es una herramienta que se puede utilizar para factorizar completamente un polinomio.

Ejemplo de la división larga de polinomios

Dividiremos el polinomio

(a² - 9a - 22)

por el polinomio

(a - 11)

es decir

(a² - 9a - 22)/(a - 11)

donde (a² - 9a - 22) es un dividendo y (a - 11) es un divisor.

Utilizamos el símbolo de la división larga:

a - 11)a² - 9a - 22

La división larga de polinomios paso a paso

Paso 1.

Dividir el primer término del dividendo (a²) por el primer término del divisor (a):

a²/a = a

Poner el resultado (a) sobre el símbolo de la división larga:

a - 11)a² - 9a - 22

Paso 2.

Multiplicar (a) por el divisor a - 11:

a(a - 11) = a² - 11a

Paso 3.

Restar (a² - 11a) de los dos términos primeros del dividendo:

a - 11)a² - 9a - 22

-(a² - 11a)

Paso 4.

Bajar el último término del dividendo (-22):

a - 11)a² - 9a - 22

-(a² - 11a)

2a - 22

Paso 5.

Dividir el primer término de 2a - 22 por el primer término del divisor (a):

2a/a = 2

Poner el resultado 2 sobre el símbolo de la división larga:

a + 2

a - 11)a² - 9a - 22

-(a² - 11a)

2a - 22

Paso 6.

Multiplicar 2 por el divisor a - 11:

2(a - 11) = 2a - 22

Paso 7.

Restar 2a - 22 de 2a - 22:

a + 2

a - 11)a² - 9a - 22

-(a² - 11a)

2a - 22

-(2a - 22)

El resultado final de la división:

(a² - 9a - 22)/(a - 11) = a + 2

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Desigualdades

(También conocidas como inecuaciones de primer grado)

Se establece rápidamente la definición de una desigualdad lineal, pasando a dar un bosquejo de una estrategía general para resolver este tipo de desigualdad. Se puntualiza el tipo de conjunto solución de este tipo de desigualdad, de manera gráfica, por intervalos y por conjuntos. Se dan una serie de pasos recomendados que conducen siempre al despeje de la variable. Un primer ejemplo es desarrollado con dos procedimientos, el primero siguiendo los pasos recomendados, el segundo es para aclarar que se pueden emplear otras estrategias, siempre y cuando respeten la propiedades algebraicas y de desigualdades.

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo:

2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)

2 + x − 2 > 16 − 2

x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

a > b / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x / :5

3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo:

15 – 3 • x ≥ 39 / −15

− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

Ecuaciones Lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

Las ecuaciones lineales o de primer grado

son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier

otra ecuación en la que al operar, trasponer

términos y simplificar adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones lineales

En general para resolver una ecuación lineal

o de primer grado debemos seguir los siguientes

pasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y

los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Ejemplos de ecuaciones lineales

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y

los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Quitamos denominadores, para ello en primer

lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos

los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axⁿ, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

monomio	binomio	trinomio

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

Polinomios

Definición: Un polinomio en x es una suma de la forma:

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + ··· + a₂ x² + a₁ x + a₀ Donde n es un entero no negativo y cada coeficiente de x es un numero real. Si a_n es un numero diferente de cero, se dice que el polinomio es de grado n.

El coeficiente a de la mayor potencia de x es el coeficiente principal del polinomio.

Ejemplos de polinomios:

Ejemplo	Coeficiente principal	Grado
	3	4
	1	8
	-5	2
8	8	0
	7	1

Ejemplos de expresiones que no son polinomios:

En el primer ejemplo el exponente de

es negativo contradiciendo la definición de polinomio, de igual forma en el ejemplo c donde el exponente de

no es entero.

En el ejemplo b tenemos una expresión racional o fraccionaria con un polinomio en el numerador y otro en el denominador. El criterio que utilizaremos es el siguiente si el polinomio del denominador no es el constante o de grado cero, la expresión no es un polinomio. Recuerde que los exponentes deben ser enteros positivos.

Suma y Resta de Polinomios:

Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer las suma son:

Paso 1: Elimine los paréntesis

Paso 2. Agrupe términos semejantes

Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.

Ejemplo: Halla la suma de:

Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del paréntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo.

Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo sólo escriba los términos que están dentro del paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos paréntesis.

Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.

Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.

Así que aplicando este concepto a la expresión original tendríamos: